Quants faristols possibles hi ha? (I)

A partir de la distribució catalana de fitxes, quants faristols diferents existeixen?

Primer cal saber que entenem per faristols diferents:

Un faristol és un col·lecció de 7 fitxes, que poden ser iguals o diferents entre elles, subjecta a la distribució habitual de l’escrable en català (no hi pot haver un escrable amb 7 escarrassos, per exemple). Cal tenir en compte que dos faristols es consideren iguals si un es pot obtenir de l’altre simplement reordenant les fitxes. Així doncs, no importa l’ordre de les fitxes, siguin iguals o diferents entre elles.

Ara que ja sabem que és un faristol, plantegem una estratègia per atacar el problema. La idea és trencar el problema inicial en altres més senzills de resoldre, de manera que un cop tinguem tots els problemes senzills resolts, aleshores sigui fàcil resoldre la qüestió inicial.

Per esbrinar el nombre total de faristols, el que farem és classificar-los a partir d’una característica, de manera que cada faristol pertanyi a una classe, i només a una. Comptarem quants faristols n’hi ha de cada classe i, finalment, sumarem aquestes quantitats per obtenir el nombre total de faristols.

El criteri per classificar els faristols serà el següent:

Dos faristols són de la mateixa classe si tenen el mateix nombre de fitxes diferents (poden ser faristols d’1 a 7 fitxes diferents) i cada una d’aquestes fitxes diferents té el mateix factor repetició en ambdós faristols (una fitxa pot aparèixer entre 1 i 7 vegades en un faristol).

Per fer-ho fàcil, aquí teniu les 15 classes de faristols que existeixen seguint aquest criteri, un faristol segur que és d’una d’aquestes classes, i només d’una:

  • 7: una única fitxa apareix 7 vegades. Ex: AAAAAAA
  • 6+1: dues fitxes diferents, una apareix 6 vegades i l’altra 1 vegada. Ex: AAAAAAB
  • 5+2: dues fitxes diferents, una apareix 5 vegades i l’altra 2 vegades. Ex: AAAAABB
  • 5+1+1: tres fitxes diferents, una apareix 5 vegades i dues més 1 vegada cadascuna. Ex: AAAAABC
  • 4+3: dues fitxes diferents, una apareix 4 vegades i l’altra 3 vegades. Ex: AAAACCC
  • 4+2+1: tres fitxes diferents, una apareix 4 vegades, una altra dues, i una apareix només 1 vegada. Ex: AAAABBC
  • 4+1+1+1: quatre fitxes diferents, una apareix 4 vegades i tres més 1 vegada cadascuna. Ex: AAAABCD
  • 3+3+1: tres fitxes diferents, dues fitxes apareixen 3 vegades cadascuna i una més que només apareix 1 vegada. Ex: AAACCCB
  • 3+2+2: tres fitxes diferents, una apareix 3 vegades i dues fitxes més 2 vegades cadascuna. Ex: AAABBCC
  • 3+2+1+1: quatre fitxes diferents, una apareix 3 vegades, una altra dues, i dues fitxes més apareixen 1 vegada. Ex: AAABBCD
  • 3+1+1+1+1: cinc fitxes diferents, una apareix 3 vegades, i quatre fitxes més apareixen 1 vegada. Ex: AAABCDE
  • 2+2+2+1: quatre fitxes diferents, tres fitxes apareixen 2 vegades i una més que només apareix 1 vegada. Ex: AABBCCD
  • 2+2+1+1+1: cinc fitxes diferents, dues fitxes apareixen 2 vegades i tres fitxes més que només apareixen 1 vegada cadascuna. Ex: AABBCDF
  • 2+1+1+1+1+1: sis fitxes diferents, una fitxa apareix 2 vegades i cinc fitxes més que només apareixen 1 vegada cadascuna. Ex: AABCDEF
  • 1+1+1+1+1+1+1: 7 fitxes que apareixen només una vegada cadascuna. Ex: ABCDEFG

Ara, per comoditat futura al proper article, agrupem les fitxes de l’escrable a partir de la seva freqüència a la distribució catalana del joc, l’escarràs el marco amb el caràcter #.

  • 5 fitxes apareixen 7 o més vegades: A, E, I, R i S
  • 1 fitxa apareix exactament 6 vegades: N
  • 2 fitxes apareixen exactament 5 vegades: O i T
  • 2 fitxes apareixen exactament 4 vegades: L i U
  • 3 fitxes apareixen exactament 3 vegades: C, D i M
  • 4 fitxes apareixen exactament 2 vegades: B, G, P i #
  • 10 fitxes apareixen exactament 1 vegada: Ç, F, H, J, L·L, NY, QU, V, X i Z

Al proper articles d’aquesta sèrie, calcularem el nombre de faristols de cada tipus.

Nota: els articles de tipus combinatori/estadístic només es publicaran en dimecres. Habitualment seran articles curts, no pas una sèrie. L’article d’avui, en formar part d’una sèrie, us permet rumiar durant una setmana i deduir que direm a l’article següent. Ànims.