Quants faristols possibles hi ha? (II)

Ja ha arribat el dia, anem a comptar el nombre de faristol de cada classe de l’article anterior.

  • 7: només hi ha 5 fitxes que apareixen 7 o més vegades. Per tant només hi ha 5 faristols d’aquest tipus.
  • 6+1: només hi ha 6 fitxes que apareixen 6 vegades o més. Un cop triada la fitxa que apareix 6 vegades, la fitxa que queda pot ser qualsevol de les 26 altres, ja que totes les fitxes apareixen una vegada com a mínim. Per tant, hi ha 6·26=156 faristols diferents d’aquest tipus.
  • 5+2: hi ha 8 fitxes que apareixen 5 vegades o més. Un cop triada aquesta fitxa, l’altra fitxa pot ser qualsevol de les 16 fitxes que apareixen dues vegades o més, i que no hem fet servir encara. Per tant, hi ha 8·16=128 faristols diferents d’aquest tipus.
  • 5+1+1: Aquí la cosa es complica una mica. Tenim 8 opcions per a la fitxa que apareix 5 vegades. Les dues fitxes que queden les hem de triar entre qualsevol de les 26 que no hem fet servir encara, però observem que és indiferent en quin ordre ho fem, per tant tridrem 26·25/2 opcions. En total hi ha 8·325=2600 faristols diferents d’aquest tipus.
  • 4+3: tornem als casos fàcils. Tenim 10 opcions per a la primera fitxa, i 12 per a la segona. Per tant, 10·12=120 faristols diferents d’aquest tipus
  • 4+2+1: tres fitxes diferents. 10 opcions per a la primera tria, 16 fitxes on triar per a la segona i 25 per a la tercera. En total hi ha 10·16·25= 4000 faristols diferents d’aquest tipus
  • 4+1+1+1: tornen les corbes. 10 opcions per a la primera tria. I les tres fitxes que queden les hem de triar entre les 26 que encara no hem fet servir, però no importa en quin ordre ho fem. Per tant tenim 10· (26·25·24)/(3·2)=10·2600=26000 faristols diferents d’aquest tipus.
  • 3+3+1: Tenim 13 opcions de fitxes que apareixe 3 vegades o més,però altra vegada no importa l’ordre d’aquest tria. Tenim doncs 13·12/2 trides possibles. La darrera fitxa la podem triar entre 25 opcions. Per tant tenim 78·25=1950 faristols diferents d’aquest tipus.
  • 3+2+2: Per a la primera tria tenim 13 opcions. Les altres dues fitxes les hem de triar entre 16 opcions, però no importa l’ordre. Per tant són 13·120= 1560 faristols diferents d’aquest tipus.
  • 3+2+1+1: són 13 opcions per a la primera tria i 16 per a la segona. La tercera tria té 25 opcions, però no importa l’ordre. Per tant tenim 13·16·300=62400 faristols diferents d’aquest tipus.
  • 3+1+1+1+1: tenim 13 opcions per a la primera tria i 26 per a la segona, però en aquesta tria no importa l’ordre. Són 13·14950=194350 faristols diferents d’aquest tipus.
  • 2+2+2+1: tenim 17 opcions per a la primera tria de 3 fitxes, però no importa l’ordre, això són 17 sobre 3 possibilitats, 680. En la darrera tria tenim 24 opcions. Són 680·24=16320 faristols diferents d’aquest tipus.
  • 2+2+1+1+1: tenim 17 opcions per a la primera tria de 2 fitxes, però no importa l’ordre, això són 17 sobre 2 possibilitats, 136. En la darrera tria tenim 25 opcions per a 3 fitxes, i tampoc importa l’ordre, són 25 sobre 3, 2300 opcions. Així doncs, tenim 136·2300=312800 faristols diferents d’aquest tipus.
  • 2+1+1+1+1+1: tenim 17 opcions per a la primera tria. La segona tria són 26 opcions on no importa l’ordre, 26 sobre 5, 65780. Així doncs, tenim 17·65780=1118260 faristols diferents d’aquest tipus.
  • 1+1+1+1+1+1+1: el darrer tipus. Tenim 27 opcions per a triar aquests 7, però no importa l’ordre. Això és el nombre combinatori 27 sobre 7. Són 888030 faristols diferents d’aquest tipus.

Bé, ja hem comptat quants faristols té cada classe de faristol. Si fem la suma tenim que el nombre total de faristols diferents és de: 2.628.679

No està malament, més de dos milions i mig de faristols diferents!!!

Tingueu en compte que aquest és un estudi combinatori, no pas probabilístic. Només hem comptat quants faristols diferents hi ha, però no tots tenen la mateixa probabilitat, n’hi ha que tenen una probabilitat més alta i altres és més difícil que apareguin en una partida. En posteriors articles ja atacarem l’aspecte probabilístic dels faristols.

Quants faristols possibles hi ha? (I)

A partir de la distribució catalana de fitxes, quants faristols diferents existeixen?

Primer cal saber que entenem per faristols diferents:

Un faristol és un col·lecció de 7 fitxes, que poden ser iguals o diferents entre elles, subjecta a la distribució habitual de l’escrable en català (no hi pot haver un escrable amb 7 escarrassos, per exemple). Cal tenir en compte que dos faristols es consideren iguals si un es pot obtenir de l’altre simplement reordenant les fitxes. Així doncs, no importa l’ordre de les fitxes, siguin iguals o diferents entre elles.

Ara que ja sabem que és un faristol, plantegem una estratègia per atacar el problema. La idea és trencar el problema inicial en altres més senzills de resoldre, de manera que un cop tinguem tots els problemes senzills resolts, aleshores sigui fàcil resoldre la qüestió inicial.

Per esbrinar el nombre total de faristols, el que farem és classificar-los a partir d’una característica, de manera que cada faristol pertanyi a una classe, i només a una. Comptarem quants faristols n’hi ha de cada classe i, finalment, sumarem aquestes quantitats per obtenir el nombre total de faristols.

El criteri per classificar els faristols serà el següent:

Dos faristols són de la mateixa classe si tenen el mateix nombre de fitxes diferents (poden ser faristols d’1 a 7 fitxes diferents) i cada una d’aquestes fitxes diferents té el mateix factor repetició en ambdós faristols (una fitxa pot aparèixer entre 1 i 7 vegades en un faristol).

Per fer-ho fàcil, aquí teniu les 15 classes de faristols que existeixen seguint aquest criteri, un faristol segur que és d’una d’aquestes classes, i només d’una:

  • 7: una única fitxa apareix 7 vegades. Ex: AAAAAAA
  • 6+1: dues fitxes diferents, una apareix 6 vegades i l’altra 1 vegada. Ex: AAAAAAB
  • 5+2: dues fitxes diferents, una apareix 5 vegades i l’altra 2 vegades. Ex: AAAAABB
  • 5+1+1: tres fitxes diferents, una apareix 5 vegades i dues més 1 vegada cadascuna. Ex: AAAAABC
  • 4+3: dues fitxes diferents, una apareix 4 vegades i l’altra 3 vegades. Ex: AAAACCC
  • 4+2+1: tres fitxes diferents, una apareix 4 vegades, una altra dues, i una apareix només 1 vegada. Ex: AAAABBC
  • 4+1+1+1: quatre fitxes diferents, una apareix 4 vegades i tres més 1 vegada cadascuna. Ex: AAAABCD
  • 3+3+1: tres fitxes diferents, dues fitxes apareixen 3 vegades cadascuna i una més que només apareix 1 vegada. Ex: AAACCCB
  • 3+2+2: tres fitxes diferents, una apareix 3 vegades i dues fitxes més 2 vegades cadascuna. Ex: AAABBCC
  • 3+2+1+1: quatre fitxes diferents, una apareix 3 vegades, una altra dues, i dues fitxes més apareixen 1 vegada. Ex: AAABBCD
  • 3+1+1+1+1: cinc fitxes diferents, una apareix 3 vegades, i quatre fitxes més apareixen 1 vegada. Ex: AAABCDE
  • 2+2+2+1: quatre fitxes diferents, tres fitxes apareixen 2 vegades i una més que només apareix 1 vegada. Ex: AABBCCD
  • 2+2+1+1+1: cinc fitxes diferents, dues fitxes apareixen 2 vegades i tres fitxes més que només apareixen 1 vegada cadascuna. Ex: AABBCDF
  • 2+1+1+1+1+1: sis fitxes diferents, una fitxa apareix 2 vegades i cinc fitxes més que només apareixen 1 vegada cadascuna. Ex: AABCDEF
  • 1+1+1+1+1+1+1: 7 fitxes que apareixen només una vegada cadascuna. Ex: ABCDEFG

Ara, per comoditat futura al proper article, agrupem les fitxes de l’escrable a partir de la seva freqüència a la distribució catalana del joc, l’escarràs el marco amb el caràcter #.

  • 5 fitxes apareixen 7 o més vegades: A, E, I, R i S
  • 1 fitxa apareix exactament 6 vegades: N
  • 2 fitxes apareixen exactament 5 vegades: O i T
  • 2 fitxes apareixen exactament 4 vegades: L i U
  • 3 fitxes apareixen exactament 3 vegades: C, D i M
  • 4 fitxes apareixen exactament 2 vegades: B, G, P i #
  • 10 fitxes apareixen exactament 1 vegada: Ç, F, H, J, L·L, NY, QU, V, X i Z

Al proper articles d’aquesta sèrie, calcularem el nombre de faristols de cada tipus.

Nota: els articles de tipus combinatori/estadístic només es publicaran en dimecres. Habitualment seran articles curts, no pas una sèrie. L’article d’avui, en formar part d’una sèrie, us permet rumiar durant una setmana i deduir que direm a l’article següent. Ànims.